曲線を表現する場合、折れ線データとしてデータを持つと、拡大した場合に

きれいに表示されません。また、拡大した場合にもきれいに表示できるように

精度を上げると、データ量が膨大になってしまいます。そこで、制御点という

代表点の座標値をもとにして、曲線を表示する式が使われます。

　なめらかな曲線を描画するための代表的な式の例としては、ベジェ曲線や

Ｂスプライン曲線などがあります。

　また、曲線を表す多項式には、いろいろな次数の多項式が考えられます。

　コンピュータグラフックの世界では、接線方向と、曲率が、連続していると

きれいに表示できるため、３次の多項式を使うのが一般的です。

　そこで、本ページでは、３次の多項式に限って解説することにします。

　また、これらの曲線の指定方法にも、いろいろな方法があります。

　曲線の式の種類と曲線の指定方法は、違いますので、区別しましょう。

　通過点から、曲線の式をを導き出すためには、指定された条件を元にして

掃き出し法を使って、連立方程式を解く必要があります。

・曲線の式の種類の例

　　ベジェ曲線

　　Ｂスプライン曲線

・曲線の位置の指定方法の例

　　端点と通過点で指定する方法

　　端点と制御点で指定する方法

・曲線の端点の状態の指定方法の例

　　何も指定しない方法（接線ベクトル＝０）

　　接線ベクトルを指定する方法（方向と大きさを指定）

　　接線方向と、曲率を指定する方法

　　閉曲線指定をする方法

　曲線の描画サンプルとして、３次のベジェ曲線と３次のＢスプライン曲線を

描いて見ます。

　ベジェ曲線は、端点と接線ベクトルを指定する方法を採用し、Ｂスプライン

曲線は、通過点を指定する方法を採用することで、それぞれのメリットを生か

して使うことができます。

３次のベジェ曲線

　使用例：　　ＰｈｏｔｏＳｈｏｐ、Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｏｒ

　指定方法：　端点と、端点の接線ベクトルを指定（制御点）

　特徴：　　　細かい指定が可能

　　　　　　　連続した曲線を描くのは大変

３次のＢスプライン曲線

　使用例：　　ＣＡＤソフト、各種シミュレーション

　指定方法：　通過点を複数個指定

　特徴：　　　連続した曲線が簡単に描ける

　　　　　　　指定した点を通る曲線が簡単に描ける

　Ｂスプライン曲線には、ノットベクトルの間隔が等間隔かどうかによって、

ユニフォームなＢスプライン曲線と、ノンユニフォームなＢスプライン曲線に

分かれます。

　曲線を指定するための座標値の間隔が大きく異なる場合は、ユニフォームな

Ｂスプライン曲線の方がきれいに描画することができます。

　しかし、ノンユニフォームなＢスプライン曲線は、ＮＵＲＢＳとも言って、

ＩＧＥＳなどのＣＡＤのデータ変換用フォーマットなどで採用されています。

　それから、ＰｈｏｔｏＳｈｏｐがほんとうにベジェ曲線の式を採用している

かどうかは、不明です。実際に描いてみて、比較するしかありません。

　ベジェ曲線には、ｎ次のベジェ曲線が存在しますが、PhotoShopやIllustrattorなどで、一般的に利用されているのは、３次のベジェ曲線です。３次のベジェ曲線とは、２個の端点と２つの制御点をひとつの媒介変数（パラメータ）を使用した方程式で表現される曲線です。

　ベジェ曲線を描く場合、始点と終点と、各点の接線方向と曲率を視覚的に設定することができます。そのため、接線方向を合わせることにより、複数のベジェ曲線をなめらかに接続することもできます。

　３次のベジェ曲線は、４つの制御点をそれぞれP0,P1,P2,P3とすると、

と表すことができます。

　ｔは、媒介変数または、パラメータと言ってベクトルの始点から終点に向かって増加します。

　つまり、線分をこのパラメータで表すと、１次元の式になるわけです。

　Ｐは、端点（アンカーポイント）と制御点ですから、指定された点のｘ座標とｙ座標を代入するだけでＯＫです。

　ですから、あとは、ＦＯＲループで、パラメータを０から１まで少しずつ変化させていけば、直線だろうが曲線だろうが簡単に描けるわけです。